Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Чтобы ученик действительно понял преимущество решения в общем виде, разберем решение конкретной задачи двумя методами.

Задача: При делении на 5 число дает остаток 3. Какой остаток дает число при делении на 15?

1) Решение перебором. При делении на 15 могут получиться следующие остатки: 0, 1, …, 14. Если остаток равен

0: то при делении на 5 будет остаток 0 ¹ 3;

1: то при делении на 5 будет остаток 1 ¹ 3;

2: то при делении на 5 будет остаток 2 ¹ 3;

3: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;

4: то при делении на 5 будет остаток 4 ¹ 3;

5: то при делении на 5 будет остаток 0 ¹ 3;

6: то при делении на 5 будет остаток 1 ¹ 3;

7: то при делении на 5 будет остаток 2 ¹ 3;

8: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;

9: то при делении на 5 будет остаток 4 ¹ 3;

10: то при делении на 5 будет остаток 0 ¹ 3;

11: то при делении на 5 будет остаток 1 ¹ 3;

12: то при делении на 5 будет остаток 2 ¹ 3;

13: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;

14: то при делении на 5 будет остаток 4 ¹ 3;

Получается, что существует три варианта остатка: 3, 8, 13.

2) Решение в общем виде. Так как при делении числа a на 5 остаток равен 3, то его можно записать в виде а = 5k + 3. Пусть остаток от деления числа a на 15 равен b, тогда a = 15n + b, где 15 ³ b > 0.

Значит 15n + b = 5k + 3 Û b – 3 = 5k – 15n = 5(k – 3n).

Получается, что 12 ³ b – 3 > – 3 и b – 3 делится на 5.

Возможны три варианта:

Трудно не согласиться, что решение в общем виде красивее и короче.

§3.

Задача 2. Докажите, что число 111…1(восемьдесят одна единица) делится на 81.

Рассуждения ученика: Так как сумма цифр числа 111…1(восемьдесят одна единица) делится на 9, то само число делится на 9. Сумма цифр делится на 9 два раза, значит и число делится два раза на 9, значит оно делится на 81.

Анализ ошибки: По сути дела, ученик сформулировал признак делимости на 81 по аналогии с признаком делимости на 9. В этом ничего плохого нет. Но ученик не проверил, верен ли этот признак. Это необоснованная аналогия. Что касается признака делимости на 81, то он ошибочен (хотя для чисел, составленных из одних единиц, он все-таки выполняется). Достаточно привести контрпример: 81818181818181819=81×1010101010101010 + 9, сумма цифр равна 81.

Задача 3. Найдите какое-нибудь целое число, записываемое одними единицами, которое делится на 33…3 (сто троек).

1) Рассуждения ученика: ответ 11…1(триста единиц).

Анализ ошибки: в данной задаче ответ получить не так уж и сложно. Главное – обосновать его. Этого этапа у многих школьников нет. Нужно разъяснить, что в тех задачах, где требуется найти какое-то число: первое – надо его указать; второе – надо доказать, что оно удовлетворяет всем условиям задачи.

2) Рассуждения ученика: 111 делится на 3 (сумма цифр равна трем, значит, число делится на три); 111111 делится на 33 (на 3 делится, так как сумма цифр делится на 3; на 11, так как 111111 = 11 × 10101); …;11…1(триста единиц) делится на 33…3(сто троек).

Анализ ошибки: Рассмотрены частные случаи и на их основе делается незаконное обобщение на все множество объектов. Ученик предполагает, что 11…1 (3n единиц) делится на 33…3 (n троек). Это верное предположение, но ее еще надо обосновать. Либо описать доказательство в общем виде либо доказать конкретно для числа 11…1 (триста единиц). Для убедительности необходимо привести пример подобной задачи, в которой свойство не обобщается:

Материалы по педагогике:

Подход В.Ф. Шаталова
Из учителей-новаторов остановим наше внимание на подходе В.Ф. Шаталова, описание принципов организации учебной работы которого в литературе широко представлено не только собственными работами автора, но и его последователями и "толкователями" сути его подхода в применении к различным пред ...

О модульной технологии и дифференциации в обучении математике
Модульное обучение (как развитие блочного) – это такая организация процесса учения, при которой учащийся работает с учебной программой, составленной из модулей. Применение модульного обучения не требует непременной перестройки всего учебного процесса, а введение модульных уроков можно осуществлять ...

Сравнение и аналогия
Сравнение – это установление сходства или различия между предметами или их отдельными признаками . Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: сравниваемые понятия однородны и сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение. Процесс ...

Разделы

• Главная
• Развитие познавательных интересов на уроках
• Образование как ценность
• Информатизация образования
• Образование как система и процесс
• Методологические основы педагогики
• Нравственно-этическое воспитание детей
• Образование: теория и практика
• Карта сайта
• Контакты