BriefEducation
Образование: теория и практика » Анализ ошибок заочной математической школы » Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Страница 4

§1.

Задача 1. Выяснить, какие из следующих утверждений верны, а какие – нет:

б) если a и b не делятся на 6, то a+b не делится на 6;

г) если a делится на 6, b не делится на 6, то ab не делится на 6;

д) если a делится на 6, b делится на 10, то ab делится на 60.

Рассуждения ученика: в решениях всех пунктов используется один и тот же метод. Утверждение проверяется лишь для конкретной пары чисел, удовлетворяющей условиям задачи. Результат проверки служит ответом.

Анализ ошибки: Выделим три случая: 1) при проверке для конкретной пары чисел утверждение неверно; 2) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно, но существуют пары чисел, при которых утверждение ложно; 3) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно и для остальных пар чисел оно также выполняется. Получается, что в первом и втором случаях утверждение неверное, а в третьем – верное. Ученики лучше всего действуют в первом случае, так как им легче оперировать конкретными числами. От них требуется лишь подобрать опровергающий пример. Если же все рассмотренные примеры подтверждают утверждение, но перебраны не все возможные случаи, что для бесконечного их множества просто невозможно, то нет гарантии, что это третий случай, а не второй. Поэтому требуются работать с классом чисел, в связи с этим возникают трудности представления в общем виде.

Все выше сказанное подтверждается в решениях школьников.

В пунктах б) и г) ученик находит пару чисел, при которых условие не выполняется, и делает правильный вывод, что утверждение не верно. В пункте д) также рассматривается одна или две пары a и b, для которых конечно же все справедливо. Делается вывод о выполнении утверждения для всех остальных чисел, то есть производится незаконное обобщение.

Стоит отметить следующий момент: в отличие от пунктов б) и г), где приводится одна пара чисел, в пункте д) ученики, как правило, рассматривают несколько пар чисел. Они понимают, что недостаточно рассмотрения конкретных чисел. Но рассмотреть все пары чисел невозможно, и они ограничиваются несколькими. Значит основная проблема состоит в переходе от конкретных чисел, обладающих определенным свойством, к классу, как объекту. Школьник не может представить класс в алгебраическом виде. Задача проверяющего – помочь ему в этом. На самом деле в методическом пособии приведено определение делимости, из которого можно понять, как представить класс чисел, делящихся на конкретное число, в общем виде. Конкретных примеров представления нет. Поэтому можно дать такой комментарий: «В пункте д) Вами был рассмотрен лишь частный случай. Выполнимость утверждения для всех оставшихся пар чисел (а их достаточно много) остается под вопросом. Чтобы проверить ее, необходимо рассуждать в общем виде. Скажем, число a, которое делится на 6 можно записать, как 6k, где k – некоторое целое число.»

Задача 2. Докажите утверждения:

г) если и , то .

д) если , то .

г) Рассуждения учеников: Так как , то либо либо . Дальше рассматриваются эти варианты и отдельно для каждого доказывается, что .

Анализ ошибки: Это типичный неполный перебор, рассмотрены не все варианты, а конкретно – не рассмотрен вариант, когда a и b не делятся на c. Ученик не учел случай, когда c представляется в виде произведения двух множителей, на один из которых делится a, на другой делится b. Причина ошибки – отождествление в сознании ученика делителя с простым числом и использование соответствующих свойств. Это обобщение свойств простого числа на все числа легко опровергается контрпримером: a=3, b=6, c=9. Понятно, что при этом , но ни a и ни b на c не делятся.

д) Рассуждения учеников: Так как и , то .

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Материалы по педагогике:

Методы развития волевого поведения детей дошкольного возраста
Все волевые качества формируются на протяжении жизни и деятельности человека, и особенно важным этапом в волевом развитии является детский возраст. Как и все психические процессы, воля развивается не сама по себе, а в связи с общим развитием личности. Рассматривая основные факторы, обеспечивающие р ...

Традиционные и инновационные технологии правового обучения
О сочетании традиционных и инновационных технологий в правовом обучении Слово «инновация» появилось в исследованиях ученых XIX в. и означало введение отдельных элементов культуры в другую среду. Такое значение этого понятия сохранилось в современной этнографии. Педагогические инновации стали предме ...

Механизмы и условия формирования и развития познавательного интереса у детей младшего школьного возраста
По мнению А.К. Марковой, в классных коллективах младших школьников на развитие их интересов влияет не столько возраст, сколько индивидуальность школьника, обусловленная его жизнедеятельностью, приобретением опыта разнообразной предметной деятельности, общением, влиянием семейных условий, средствами ...

Разделы

© 2019 Copyright www.briefeducation.ru