Анализ ошибки: В методическом пособии выделено несколько свойств делимости целых чисел. Одно из них формулируется следующим образом: если a и b делятся на c, то a+b и a-b делятся на c. Ученик воспользовался этим свойством, но неправильно, он его изменил: если c делится на a и на b, то c делится на a+b и на a-b (*). Причина в следующем: делимость – антисимметричное бинарное отношение. В школе ученики встречались лишь с равенством (симметричным отношением) и только начинают подробно изучать отношение порядка. Не удивительно, что они путают числа, которые делятся, и числа, на которые делятся. Единственное правило на первых этапах изучения делимости – внимательно применять свойства при решении задач. Для опровержения данного свойства (*) достаточно привести контрпример: 10 делится на 5 и на 2, но на 3 число 10 не делится. Для того, чтобы ученики лучше понимали суть делимости чисел и свойств, рекомендуется самостоятельно доказать некоторые из них, приведенные в пособии.
Задача 5-в. При каких n 3n2+2n+2 делится на 4n+3.
Рассуждения ученика: Так как , то и или Þ Þ .
Если n = – 1, то 4n+3 = – 1, и .
Если n = 0, то 4 – n не делится на 4n+3.
Если n=1, то 4 – n не делится на 4n+3.
Если n = 4, то .
Ответ: n = – 1.
Анализ ошибки: В рассуждениях нет логики, ученик рассматривает лишь некоторые n. Как обстоит дело с оставшимися числами – неизвестно. Это неполный перебор. Школьник пытался рассуждать по аналогии с примером, разобранном в методическом пособии ([9], с. 5), но не довел решение до конца, не сделав последний шаг: Þ Þ . Сейчас остается рассмотреть четыре случая 4n+3 = 19; 1; –1; –19. Других вариантов нет.
Задача 3. Докажите, что сумма 2n+1 последовательных натуральных чисел делится на 2n+1.
Рассуждения ученика:
1+2+3+…+(2n+1)=(1+2n+1)(2n+1)/2=(n +1)(2n+1) делится на 2n+1.
Анализ ошибки: Рассмотрен частный случай. На его основе проведено необоснованное обобщение выполнения свойства для всех остальных последовательностей. Хотя в данном случае рассуждения и будут аналогичные, но ведь это надо еще показать. Тем более, что можно привести пример, когда для нескольких частных случаев свойство выполняется, а в общем не верно.
Например: (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) делится на 120 при n=1, 2, 3, 4, а вот при n=5 выражение (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 6×7×8×9 на 120 уже не делится.
Задача 4. Остаток от деления нечетного числа на 7 равен 2. Найдите остаток от деления этого числа на 14.
Рассуждения ученика: 9 = 7 × 1 + 2. 9 = 14 × 0 + 9. Остаток равен 9.
Анализ ошибки: Это типичная ошибка при решении задач на делимость: необоснованное обобщение. Ученик рассмотрел лишь одно число, удовлетворяющее условиям. При каком-то другом числе может получиться остаток, отличный от 9. Недостаточно найти правильный ответ, надо еще доказать , что все остальные будут неправильными.
В задачах на делимость есть два наиболее часто употребляемых метода решения:
1) разбиение общей задачи на несколько частных (дизъюнкция). При этом нужно следить за тем, чтобы все случаи (задачи) были разобраны. Если какой-то из них не рассмотрен, то метод теряет свою суть и решение считается неверным. Неполный перебор часто встречается в работах школьников.
2) решение в общем виде. Нелегко дается учениками, так как им легче оперировать с конкретными объектами. Этот метод хорош тем, что исключает потерю части решения. Большинство свойств доказывается именно в общем виде. При его использовании происходит абстрагирование, частные характеристики объектов не учитываются, рассуждения опираются на общие свойства данного класса объектов. Красота метода в том, что, работая с одним объектом, мы тем самым охватываем весь класс. Но это одновременное оперирование всеми объектами сразу и отталкивает детей с их конкретным мышлением. В действительности же, представив число в общем виде, он работает с ним, как с конкретным числом, ничего принципиально нового нет. Задачи на делимость – это благодатная среда для обучения абстрагированию: рассуждения в общем виде здесь не очень сложны и в то же время достаточно ярко показывают эффективность данного метода.
Материалы по педагогике:
Эффективность программы формирования эстетических чувств
младших школьников с нарушением интеллекта средствами дидактической игры
После проведения цикла занятий по изобразительной деятельности был проведен итоговый контрольный эксперимент. По-прежнему ведущим методом диагностики являлось педагогическое наблюдение, целью которого было выявить уровень эстетической воспитанности каждого школьника. В результате были получены след ...
Классификация методов обучения
Наиболее простая классификация методов обучения - по методам работы учителя и ученика. К первой группе относятся способы преподавания: рассказ, беседа, описание, объяснение учителем и другие, в которых основная роль принадлежит учителю. В этом случае задача ученика сводится к тому, чтобы следовать ...
Школа как координатор совместной деятельности школы и семьи
В ходе изложения теоретических и методических основ обучения и воспитания неоднократно подчеркивалось, что их успешное осуществление происходит только при условии объединения воспитательных усилий школы, семьи и общественности. Не следует забывать, что влияние семьи на развитие и формирование детей ...