Образование: теория и практика » Анализ ошибок заочной математической школы » Абстракция, конкретизация и обобщение

Абстракция, конкретизация и обобщение

Страница 2

Решения, в которых доказательство свойства для всего класса необоснованно заменяется проверкой лишь для одного или нескольких конкретных объектов этого класса, вообще встречаются в работах школьников достаточно часто. Рассмотрим еще один пример.

Задача О3: Докажите, что сумма любых десяти подряд идущих нечётных чисел делится на 20.

Решение: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 = 100, делится на 20. Остальные суммы тоже делятся на 20.

Анализ решения: Из того, что свойство выполняется для одной последовательности чисел, еще не следует выполнение свойства для любой другой последовательности. Например, почему 1333 + …+ 1351 делится на 20? От ученика требуются пояснения, которые бы доказывали свойство для всех последовательностей, а не проверка свойства на конкретном примере. Поэтому и оценка решения должна вестись прежде всего на основе того, проверяет ученик свойство для частных случаев или он проводит свои рассуждения для всего класса рассматриваемых объектов. В нашем случае видно, что ученик просто подсчитал сумму, никакой предпосылки для обобщения он не выделяет.

Рассмотрим пример, когда строгого доказательства нет, но все-таки его можно считать верным.

Задача О4: Число при делении на 5 дает остаток 2. Какой может быть остаток при делении на 10?

Решение: 2 = 5×0 + 2 = 10×0 + 2, 7 = 5×1 + 2 = 10×0 + 7, 12 = 5×2 + + 2 = 10×1 +2 и так далее, при увеличении числа на 5 никаких других остатков, кроме 2 и 7 не будет.

В этом случае более строгих пояснений не требуется, так как действия с оставшимися объектами достаточно ясны.

В отличие от обобщения, при конкретизации происходит переход от общего к частному: от понятия к объекту, который этим понятием характеризуется; от теоремы к применению этой теоремы. В связи с этим возникают ошибки следующего вида: 1) неточное понимание определения; 2) неправильное применение теоремы, свойства.

Ученики могут понимать определение более узко (множество объектов, подходящих под определение, меньше действительного) или более широко (множество объектов, подходящих под определение, шире действительного).

Ученики в рассуждениях иногда используют предложения, которые к рассматриваемому объекту применять нельзя. Например:

Задача О5: Основание призмы имеет площадь S. Ее боковое ребро длиной k наклонено к основанию под углом a. Найдите объем призмы.

Решение: Объем призмы равен произведению площади основания на длину бокового ребра, поэтому V = S×k.

Анализ ошибки: В данном случае ученик воспользовался формулой вычисления объема для прямой призмы. Для наклонной призмы эта формула не верна, следовательно, применять ее нельзя. Единственный способ искоренить ошибку – показать ученику наглядно, что его рассуждения противоречивы. Для этого возьмем прямую призму. Разделим ее на две равные части так, как показано на рисунке. Составим из этих частей наклонную призму. Понятно, что их объемы должны быть равны. Если же действовать подобно ученику при вычислении объемов, то объем наклонной призмы будет больше, чем объем прямой призмы.

Страницы: 1 2

Материалы по педагогике:

Анализ базовых условий обучения. Выбор способов формирования базовых знаний
В учебной практике существует несколько традиционных методов формирования знаний и умений учащихся, которые я представлю в своей работе: · рассказ; · объяснение; · краткое напоминание. Для анализа базовых знаний учащихся я применил такой метод контроля знаний, как устный опрос, так как это один из ...

Память сердца
Прошло уже много лет. Давно умерли прабабушки и прадедушки, одни из эвакуированных, не вернувшиеся в Керчь. Дело в том, что сразу после войны прабабушка заболела туберкулёзом, это задержало отъезд. Слава Богу, всё обошлось, её смогли излечить от недуга. За это время они привыкли к Сибири, прабабушк ...

Домашнее задание по методу круговой тренировки
круговой тренировка упражнение домашний задание Использование метода круговой тренировки при выполнении домашнего задания приемлемо для детей достигших 10-ти летнего возраста, т.е. учащиеся 5-6-х классов. При отставании в развитии того или иного ученика целесообразно разработать индивидуальный комп ...

Абстракция, конкретизация и обобщение

Разделы