Образование: теория и практика » Анализ ошибок заочной математической школы » Абстракция, конкретизация и обобщение

Абстракция, конкретизация и обобщение

Страница 1

Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных. Абстрагирование, процесс применения абстракции, обычно осуществляется в результате анализа. При этом признак, отделяемый от объекта, становится самостоятельным объектом мышления.

Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть его содержание.

Обобщение – мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Эти три процесса тесно взаимосвязаны между собой. Абстрагирование, как правило, происходит лишь после обобщения, когда объект абстрагирования выделен. Конкретизация – процесс, обратный к абстрагированию.

Обобщение можно определить, как переход от единичного к общему. Рассматриваются конкретные объекты класса. У этих объектов замечается выполнение определенного свойства, делается предположение, что для всех объектов класса это свойство будет выполняться. На самом деле есть определенная схожесть с аналогией, но есть и отличие: при обобщении мы можем с помощью абстрагирования работать с классом, как с одним объектом. Например, любое число, делящееся на 5 можно представить в виде 5k. Доказав какое-то свойство для этого объекта, мы тем самым докажем это свойство для всего класса. Обратное происходит при конкретизации: если свойство верно для всего класса, то для конкретного объекта этого класса свойство будет выполняться.

Рассмотрим ошибки, которые могут возникать при этих процессах.

Одна из распространенных ошибок – необоснованность обобщений. Свойство класса при этом просто замечается, но не доказывается, оно, как правило, проверяется лишь для нескольких элементов класса. Рассмотрим классический пример, принадлежащий Л. Эйлеру:

Пример О1: Верно ли, что при любом натуральном n n2 + n +41 – простое число?

Доказательство: при n = 1: n2 + n + 41 = 43 – простое число;

при n = 2: n2 + n + 41 = 47 – простое число;

при n = 3: n2 + n + 41 = 53 – простое число;

при n = 4: n2 + n + 41 = 61 – простое число;

при n = 5: n2 + n + 41 = 71 – простое число;

и т. д. При остальных n выражение n2 + n + 41 также будет простым числом.

Обобщение в этом случае не только не обосновано, но и опровергается конкретным примером: при n = 41 имеем n2 + n + 41 = 412 + 41 + 41 = 41×(41+2) = 41×43.

В жизни обычно на основе проверки свойства у нескольких объектов класса делается вывод, что данное свойство выполнимо для всего класса в целом. Примерно так строилось большинство физических законов; на ограниченном числе опытов выводились биологические и химические закономерности. Конечно, обобщение – это неотъемлемая часть построения гипотез. Но именно гипотез, из которых лишь впоследствии вырастают логически обоснованные теории. Из рассмотренного выше примера видно, что проверенное даже на многих конкретных примерах утверждение (для натуральных чисел, меньших 41, оно выполняется) может оказаться ложным. Подобные ситуации и вынуждают приводить полные доказательства полученных обобщений, независимо от степени уверенности в справедливости данной гипотезы.

Ошибочность полученной с помощью обобщения гипотезы нередко бывает связана с нереферентностью неосознанно проведенной выборки рассмотренных для ее выдвижения объектов. Они в таких случаях обычно подбираются по принципу «что ближе лежит (или лучше знаем), то и берем». В результате предполагаемый ответ может оказаться неверным для объектов, которые "лежат дальше".

Рассмотрим конкретный пример.

Пример О2: Найдите множество всех решений неравенства x3 – x³0 (х Î R).

Ответ: [0,+¥].

Анализ ошибки: Ученик просто подобрал ответ, подставляя в неравенство только целые числа. Поэтому-то промежуток (0,1) он также включил в ответ (ведь в нем нет ни одного целого числа, а 0 и 1 удовлетворяют неравенству). Изучив нецелые числа, ученики тем не менее стараются по возможности обходится без них. Такой разрыв между теоретическими знаниями и обыденным сознанием зачастую ведет к неверным выводам вроде сделанного выше. В данной ситуации лучше всего посоветовать ученику решить неравенство методом интервалов, сравнить полученный ответ с первым и попытаться понять, почему его первоначальная гипотеза оказалась неверной.

Страницы: 1 2

Материалы по педагогике:

Сущность метода круговой тренировки
На протяжении всей своей работы в школе комплексно использую различные методы и приемы, но предпочтение отдаю методу круговой тренировки, так как считаю, что этот метод наиболее эффективен для решения цели всестороннего развития основных двигательных качеств учащихся. Круговая тренировка, осуществл ...

Переезды
В 1981 году моя бабушка решилась уехать на заработки в Приморский край. Там же моя мама нашла своего мужа – Оськина Николая Владимировича - в 1987 году. Через 3 года родилась моя старшая сестра - Оськина Регина Николаевна, а еще через три года родился Я. Через год после моего рождения мои родители ...

Понятие социально-педагогической поддержки
Понятие "поддержка" введено в педагогику относительно недавно О.С. Газманом и получило развитие в работах А.Т. Анохина, А.Г. Асмолова, А.Ф. Березина, Н.А. Галагузовой, И.Ф. Дементьевой, И.В. Дубровиной, И.Б. Котовой, А.Г. Лидерс, Л.Я. Олиференко, Л.А. Петровской, Е.Н. Шиянова, Т.И. Шульги ...

Абстракция, конкретизация и обобщение

Разделы