BriefEducation
Образование: теория и практика » Анализ ошибок заочной математической школы » Абстракция, конкретизация и обобщение

Абстракция, конкретизация и обобщение

Страница 1

Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных. Абстрагирование, процесс применения абстракции, обычно осуществляется в результате анализа. При этом признак, отделяемый от объекта, становится самостоятельным объектом мышления.

Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть его содержание.

Обобщение – мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Эти три процесса тесно взаимосвязаны между собой. Абстрагирование, как правило, происходит лишь после обобщения, когда объект абстрагирования выделен. Конкретизация – процесс, обратный к абстрагированию.

Обобщение можно определить, как переход от единичного к общему. Рассматриваются конкретные объекты класса. У этих объектов замечается выполнение определенного свойства, делается предположение, что для всех объектов класса это свойство будет выполняться. На самом деле есть определенная схожесть с аналогией, но есть и отличие: при обобщении мы можем с помощью абстрагирования работать с классом, как с одним объектом. Например, любое число, делящееся на 5 можно представить в виде 5k. Доказав какое-то свойство для этого объекта, мы тем самым докажем это свойство для всего класса. Обратное происходит при конкретизации: если свойство верно для всего класса, то для конкретного объекта этого класса свойство будет выполняться.

Рассмотрим ошибки, которые могут возникать при этих процессах.

Одна из распространенных ошибок – необоснованность обобщений. Свойство класса при этом просто замечается, но не доказывается, оно, как правило, проверяется лишь для нескольких элементов класса. Рассмотрим классический пример, принадлежащий Л. Эйлеру:

Пример О1: Верно ли, что при любом натуральном n n2 + n +41 – простое число?

Доказательство: при n = 1: n2 + n + 41 = 43 – простое число;

при n = 2: n2 + n + 41 = 47 – простое число;

при n = 3: n2 + n + 41 = 53 – простое число;

при n = 4: n2 + n + 41 = 61 – простое число;

при n = 5: n2 + n + 41 = 71 – простое число;

и т. д. При остальных n выражение n2 + n + 41 также будет простым числом.

Обобщение в этом случае не только не обосновано, но и опровергается конкретным примером: при n = 41 имеем n2 + n + 41 = 412 + 41 + 41 = 41×(41+2) = 41×43.

В жизни обычно на основе проверки свойства у нескольких объектов класса делается вывод, что данное свойство выполнимо для всего класса в целом. Примерно так строилось большинство физических законов; на ограниченном числе опытов выводились биологические и химические закономерности. Конечно, обобщение – это неотъемлемая часть построения гипотез. Но именно гипотез, из которых лишь впоследствии вырастают логически обоснованные теории. Из рассмотренного выше примера видно, что проверенное даже на многих конкретных примерах утверждение (для натуральных чисел, меньших 41, оно выполняется) может оказаться ложным. Подобные ситуации и вынуждают приводить полные доказательства полученных обобщений, независимо от степени уверенности в справедливости данной гипотезы.

Ошибочность полученной с помощью обобщения гипотезы нередко бывает связана с нереферентностью неосознанно проведенной выборки рассмотренных для ее выдвижения объектов. Они в таких случаях обычно подбираются по принципу «что ближе лежит (или лучше знаем), то и берем». В результате предполагаемый ответ может оказаться неверным для объектов, которые "лежат дальше".

Рассмотрим конкретный пример.

Пример О2: Найдите множество всех решений неравенства x3 – x³0 (х Î R).

Ответ: [0,+¥].

Анализ ошибки: Ученик просто подобрал ответ, подставляя в неравенство только целые числа. Поэтому-то промежуток (0,1) он также включил в ответ (ведь в нем нет ни одного целого числа, а 0 и 1 удовлетворяют неравенству). Изучив нецелые числа, ученики тем не менее стараются по возможности обходится без них. Такой разрыв между теоретическими знаниями и обыденным сознанием зачастую ведет к неверным выводам вроде сделанного выше. В данной ситуации лучше всего посоветовать ученику решить неравенство методом интервалов, сравнить полученный ответ с первым и попытаться понять, почему его первоначальная гипотеза оказалась неверной.

Страницы: 1 2

Материалы по педагогике:

Пословицы как жанр фольклора
М. Шолохов писал, что «величайшее богатство народа – его язык! Тысячелетиями накапливаются и вечно живут в слове несметные сокровища человеческой мысли и опыта. И, может быть, ни в одной из форм языкового творчества народа с такой силой и так многогранно не проявляется его ум, так кристаллически не ...

Способы и приемы развития связной речи у детей старшего дошкольного возраста в семье
Семья - это единственная социальная группа, приспособившаяся к многочисленным сменяющим друг друга событиям в такой небольшой временной промежуток и в таком небольшом жизненном пространстве. По определению В.В. Столина, семья - это "открытая система, подверженная внешним и внутренним воздейств ...

Исследование по выявлению проблем профессионального становления студентов из числа детей-сирот
Исследование проводилось на базе Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова, факультета педагогики начального образования и социальной педагогики в марте-апреле 2011 года. Основан в 1932 г. В структуре университета 21 факультет, 66 кафедр, 27 научных центров и лабораторий; филиалы ...

Разделы

© 2019 Copyright www.briefeducation.ru